W6–W8. Функции нескольких переменных, предел и непрерывность, частные производные, производные по направлению и градиенты, экстремумы, градиентный спуск, множители Лагранжа, формула Тейлора

Автор

Mohammad Alkousa

Дата публикации

18 марта 2026 г.

1. Краткое содержание

1.1 Функции нескольких переменных

1.1.1 Область определения, множество значений и график

В классическом курсе анализа чаще всего встречаются функции одной переменной. В науке и инженерных приложениях величина почти всегда зависит сразу от нескольких факторов: температура в комнате — от координат \((x, y, z)\), прибыль компании — от десятков параметров. Нужна теория именно для таких зависимостей.

Функция нескольких переменных (function of several variables) — это правило, которое каждой точке некоторого подмножества \(\mathbb{R}^n\) сопоставляет ровно одно вещественное число. Формально: если \(D\) — множество \(n\)-ок \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) вещественных чисел, то функция \(f\) на \(D\) каждому элементу \(D\) ставит в соответствие одно вещественное число: \[w = f(x_1, x_2, \dots, x_n).\]

Переменные \(x_1, \dots, x_n\) называют независимыми переменными (independent variables), значение \(w\) — зависимой переменной (dependent variable), множество \(D\) — областью определения (domain), а множество всех значений \(f\) — множеством значений (range).

Если область не оговорена, по умолчанию берут естественную область определения (natural domain) — наибольшее подмножество \(\mathbb{R}^n\), на котором формула даёт вещественные значения.

Как искать область определения: выпишите все ограничения:

подкоренное выражение (квадратный корень) должно быть \(\ge 0\);
аргумент логарифма должен быть строго положительным;
знаменатели не должны обращаться в ноль.

Пример: для \(f(x, y) = \frac{\sqrt{x + y + 1}}{x - 1}\) нужны \(x + y + 1 \ge 0\) и \(x \neq 1\), поэтому \(D_f = \{(x, y) \mid x + y \ge -1,\, x \neq 1\}\).

График (graph) функции \(f(x, y)\) — множество точек \((x, y, z) \in \mathbb{R}^3\), для которых \(z = f(x, y)\) и \((x, y) \in D\). Это поверхность (surface) в трёхмерном пространстве.

1.1.2 Внутренние и граничные точки, открытые и замкнутые области

Работая с функциями нескольких переменных, нужно аккуратно описывать геометрию области.

Пусть \(P_0\) — точка области \(R \subseteq \mathbb{R}^n\).

\(P_0\) — внутренняя точка (interior point) области \(R\), если существует шар положительного радиуса с центром в \(P_0\), целиком лежащий в \(R\). Совокупность всех внутренних точек — внутренность (interior) \(R\). Область открыта (open), если состоит только из внутренних точек.
\(P_0\) — граничная точка (boundary point) \(R\), если в любом шаре с центром \(P_0\) есть и точки из \(R\), и точки вне \(R\). Область замкнута (closed), если содержит все свои граничные точки.
Область ограничена (bounded), если целиком помещается в шар конечного радиуса; иначе она неограничена (unbounded).

1.1.3 Линии уровня и поверхности уровня

Представлять функцию двух переменных как поверхность в \(\mathbb{R}^3\) бывает неудобно; на практике удобнее линии уровня (level curve).

Множество точек \((x_1, \dots, x_n)\), где функция принимает фиксированное значение \(c\), называют множеством уровня (level set): \[\mathcal{L}_c(f) = \{(x_1, \dots, x_n) \mid f(x_1, \dots, x_n) = c\}.\]

при \(n = 2\) это линия уровня (также изолиния, contour line);
при \(n = 3\) — поверхность уровня (level surface);
при \(n > 3\) — гиперповерхность уровня (level hypersurface).

На топографической карте изолинии соединяют точки одинаковой высоты; линии уровня \(f(x,y)\) соединяют точки, где \(f = c\).

Пример: для \(f(x, y) = x^2 + y^2\) линии уровня \(f = c\) — окружности радиуса \(\sqrt{c}\) с центром в начале координат.

1.2 Предел и непрерывность функций нескольких переменных

1.2.1 Определение предела

Определение предела естественно переносится на несколько переменных, но появляется принципиальный момент: в \(\mathbb{R}^2\) к точке можно подходить бесконечным числом направлений (не только «слева» и «справа»). Поэтому пределы сложнее находить и сложнее опровергать.

Определение. Пусть \(f\) задана на области \(D \subseteq \mathbb{R}^n\), и пусть \(a \in \mathbb{R}^n\) — такая точка, что \(f\) определена в окрестности \(a\) (возможно, не в самой точке \(a\)). Запись \[\lim_{x \to a} f(x) = L\] означает: для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta > 0\) такое, что если \(x \in D\) и \(0 < \|x - a\| < \delta\), то \(|f(x) - L| < \varepsilon\).

Здесь \(\|x\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}\) — евклидова норма. Ключевое требование: значение \(L\) должно быть одним и тем же при любом направлении (direction), вдоль которого \((x, y)\) стремится к \((a, b)\).

1.2.2 Свойства пределов

Свойства те же, что в одномерном анализе. Если \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) и \(\lim_{x \to a} g(x) = M\), то:

\(\lim_{x \to a}(f + g) = L + M\)
\(\lim_{x \to a}(f - g) = L - M\)
\(\lim_{x \to a}(kf) = kL\) для любого \(k \in \mathbb{R}\)
\(\lim_{x \to a}(f \cdot g) = L \cdot M\)
\(\lim_{x \to a}\frac{f}{g} = \frac{L}{M}\) (при \(M \neq 0\))
\(\lim_{x \to a}(f)^m = L^m\) для \(m \in \mathbb{N}\)
\(\lim_{x \to a}\sqrt[m]{f} = \sqrt[m]{L}\) (для чётного \(m\) нужно \(L > 0\))
Композиция (composition): если \(h\) непрерывна в \(z = L\), то \(\lim_{x \to a} h(f(x)) = h(L)\)

Пример: \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\!\left(\frac{x^2 + y^3}{x + y + 1}\right) = \cos(0) = 1\) — по свойствам пределов и непрерывности косинуса.

1.2.3 Тест на двух путях (Two-Path Test) для отсутствия предела

Самый удобный способ показать, что предела нет, — тест на двух путях (Two-Path Test):

Если у \(f(x, y)\) разные пределы вдоль двух разных кривых, ведущих к \((x_0, y_0)\), то \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y)\) не существует.

Обычно подставляют конкретные пути (прямые \(y = kx\), параболы \(y = kx^2\) и т.д.) и проверяют, зависит ли предел от параметра \(k\). Если да — предела нет.

Пример: покажите, что \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^2y}{x^4 + y^2}\) не существует.

Вдоль параболы \(y = kx^2\): \[\frac{2x^2 \cdot kx^2}{x^4 + k^2x^4} = \frac{2k}{1 + k^2}.\] Выражение зависит от \(k\), значит, предела нет.

1.2.4 Непрерывность

Функция \(f\) непрерывна в точке (continuous at the point) \(a\), если:

\(f(a)\) определена,
\(\lim_{x \to a} f(x)\) существует,
\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

Функция непрерывна (continuous) на области, если непрерывна в каждой точке области.

Непрерывность композиции: если \(f\) непрерывна в \(a\), а \(g\) непрерывна в \(f(a)\), то \(h = g \circ f\) непрерывна в \(a\). Отсюда, например, непрерывность на естественных областях функций \(e^{x^2+y^2}\), \(\cos(xy/(z^2+1))\), \(\ln(1 + x^2y^2)\).

1.3 Частные производные

1.3.1 Определение

Если функция зависит от нескольких переменных, естественно спросить: как она меняется при изменении только одной координаты при фиксированных остальных? Это и есть частная производная (partial derivative).

Определение. Частная производная \(f(x, y)\) по \(x\) (partial derivative with respect to \(x\)) в точке \((x_0, y_0)\): \[\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}.\]

Геометрически \(f_x\) — угловой коэффициент касательной к сечению поверхности \(z = f(x, y)\) плоскостью \(y = y_0\).

Аналогично частная производная по \(y\): \[f_y(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}.\]

Как вычислять: чтобы найти \(\frac{\partial f}{\partial x}\), все переменные, кроме \(x\), считают константами и дифференцируют по \(x\) обычными правилами.

1.3.2 Частные производные второго и более высокого порядка

Частные производные снова являются функциями и их можно дифференцировать. Для \(f(x, y)\):

\(f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\) — дважды по \(x\)
\(f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\) — дважды по \(y\)
\(f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\) — сначала \(x\), затем \(y\)
\(f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) — сначала \(y\), затем \(x\)

Теорема Клеро — Шварца (Clairaut’s / Schwarz’s Theorem): если \(f\), \(f_x\), \(f_y\), \(f_{xy}\), \(f_{yx}\) непрерывны в \((a, b)\), то \(f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)\). На практике для гладких функций порядок дифференцирования не важен.

1.3.3 Гармонические функции и уравнение Лапласа

Функция \(f(x_1, \dots, x_n)\) называется гармонической (harmonic), если существуют её частные производные второго порядка и выполняется уравнение Лапласа (Laplace equation): \[\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} = 0.\]

Гармонические функции встречаются в электростатике, теплопроводности, гидродинамике и др.

Пример: \(f(x, y) = \ln\sqrt{x^2 + y^2}\) гармонична: \(f_{xx} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}\), \(f_{yy} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}\), поэтому \(f_{xx} + f_{yy} = 0\).

1.3.4 Дифференцируемость и линеаризация

Функция \(z = f(x, y)\) дифференцируема в точке \((x_0, y_0)\) (differentiable at \((x_0, y_0)\)), если приращение \(\Delta z = f(x, y) - f(x_0, y_0)\) представимо в виде \[\Delta z = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y + \varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y,\] где \(\Delta x = x - x_0\), \(\Delta y = y - y_0\), а \(\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0\) при \((x, y) \to (x_0, y_0)\).

Достаточное условие: если \(f_x\) и \(f_y\) существуют и непрерывны около \((x_0, y_0)\), то \(f\) дифференцируема в \((x_0, y_0)\).

Важные следствия:

дифференцируемость \(\Rightarrow\) непрерывность (обратное неверно);
одних лишь частных производных для дифференцируемости недостаточно.

Линеаризация (linearization) \(f\) в \((x_0, y_0)\) — приближение касательной плоскостью: \[\mathcal{L}(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0).\] Это наилучшее линейное приближение к \(f\) около \((x_0, y_0)\).

1.3.5 Цепное правило (chain rule)

Цепное правило обобщается на функции нескольких переменных.

Случай 1: если \(z = f(x, y)\) дифференцируема и \(x = x(t)\), \(y = y(t)\) дифференцируемы, то \[\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.\]

Случай 2: если \(z = f(x, y)\), \(x = g(s, t)\), \(y = h(s, t)\) дифференцируемы, то \[\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}, \qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.\]

Общий вид: если \(w = f(x_1, \dots, x_n)\) и каждое \(x_i = x_i(t_1, \dots, t_m)\), то \[\frac{\partial w}{\partial t_i} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial w}{\partial x_j}\frac{\partial x_j}{\partial t_i}.\]

1.3.6 Неявное дифференцирование (implicit differentiation)

Если соотношение \(F(x, y) = 0\) неявно задаёт дифференцируемую функцию \(y(x)\), то по цепному правилу \[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \quad (F_y \neq 0).\]

Если \(F(x, y, z) = 0\) задаёт \(z = f(x, y)\), то \[\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} \quad (F_z \neq 0).\]

1.4 Производные по направлению и градиенты

1.4.1 Производная по направлению (directional derivative)

Частные производные описывают скорость изменения вдоль координатных осей. Как оценить скорость роста \(f\) в произвольном направлении?

Определение. Производная \(f\) в точке \(P_0(x_0, y_0)\) по направлению единичного вектора \(\mathbf{u} = u_1\hat{\mathbf{i}} + u_2\hat{\mathbf{j}}\) (где \(\|\mathbf{u}\| = 1\)): \[D_{\mathbf{u}} f(x_0, y_0) = \lim_{s \to 0} \frac{f(x_0 + u_1 s,\, y_0 + u_2 s) - f(x_0, y_0)}{s}.\]

Это прирост \(f\) на единицу длины вдоль \(\mathbf{u}\). Если \(\mathbf{u} = \hat{\mathbf{i}}\), получается \(f_x\); если \(\mathbf{u} = \hat{\mathbf{j}}\) — \(f_y\).

Важно: направление задаётся единичным вектором (unit vector). Если дан вектор \(\mathbf{v}\), сначала нормируйте: \(\mathbf{u} = \mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|\).

1.4.2 Вектор градиента (gradient)

Определение. Градиент (gradient) функции \(f(x_1, \dots, x_n)\) в точке \(P_0\) — вектор из всех частных производных: \[\nabla f(P_0) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(P_0) \\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(P_0) \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(P_0) \end{pmatrix}.\]

Для \(f(x, y)\): \(\nabla f = f_x \hat{\mathbf{i}} + f_y \hat{\mathbf{j}}\).

Ключевая теорема: если \(f\) дифференцируема в \(P_0\), то \[D_{\mathbf{u}} f(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \mathbf{u}.\]

Производная по направлению совпадает со скалярным произведением градиента и направления — это удобная формула вместо предельного определения.

1.4.3 Геометрический смысл градиента

Так как \(D_{\mathbf{u}} f = \|\nabla f\|\cos\theta\) (\(\theta\) — угол между \(\nabla f\) и \(\mathbf{u}\)):

\(f\) быстрее всего возрастает в направлении \(\nabla f\) (при \(\theta = 0\)), со скоростью \(\|\nabla f\|\);
быстрее всего убывает в направлении \(-\nabla f\) (при \(\theta = \pi\)), со скоростью \(-\|\nabla f\|\);
стационарна в первом порядке в направлении, перпендикулярном \(\nabla f\) (при \(\theta = \pi/2\)).

Кроме того, градиент ортогонален линиям (поверхностям) уровня: в точке \(P_0\) вектор \(\nabla f\) перпендикулярен линии уровня, проходящей через \(P_0\).

1.5 Экстремумы функций нескольких переменных

1.5.1 Локальные и глобальные экстремумы

Определение. Пусть \(f\) задана на области \(R \subseteq \mathbb{R}^n\), содержащей \(x_0\). Тогда:

\(f(x_0)\) — локальный максимум (local maximum), если \(f(x_0) \ge f(x)\) для всех \(x\) из некоторого открытого шара с центром \(x_0\);
\(f(x_0)\) — глобальный (абсолютный) максимум (global / absolute maximum), если \(f(x_0) \ge f(x)\) для всех \(x \in R\);
аналогично определяются локальный и глобальный минимум.

1.5.2 Критические точки и необходимое условие экстремума

Определение. Внутренняя точка \(P_0\) области определения \(f\) — критическая точка (critical point), если либо \(\nabla f(P_0) = \mathbf{0}\), либо в \(P_0\) не существует хотя бы одна частная производная.

Необходимое условие (First Derivative Test): если во внутренней точке \(P_0\), где существуют частные производные, достигается локальный экстремум, то \(\nabla f(P_0) = \mathbf{0}\).

Замечание: критическая точка может не быть экстремумом — например, это седло (saddle point).

Определение. Критическая точка \(P_0\) — седловая, если в любом открытом шаре с центром \(P_0\) есть точки, где \(f > f(P_0)\), и точки, где \(f < f(P_0)\) (рост в одних направлениях и спад в других, как на горном перевале).

1.5.3 Достаточное условие: тест вторых производных (Hessian)

Для \(f(x, y)\) после нахождения критических точек (\(f_x = f_y = 0\)) применяют тест вторых производных (Second Derivative Test).

Дискриминант (определитель Гессиана): \[D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{vmatrix}.\]

Пусть \(f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0\) и все частные производные второго порядка непрерывны около \((a, b)\). Тогда:

Локальный максимум в \((a, b)\): если \(D > 0\) и \(f_{xx}(a, b) < 0\).
Локальный минимум в \((a, b)\): если \(D > 0\) и \(f_{xx}(a, b) > 0\).
Седло в \((a, b)\): если \(D < 0\).
Тест не даёт вывода, если \(D = 0\).

1.5.4 Восстановление функции по частным производным

Иногда известны \(f_x\) и \(f_y\), и нужно восстановить \(f\):

Проинтегрировать \(f_x\) по \(x\): \(f = \int f_x \, dx + C(y)\), где \(C(y)\) — неизвестная функция.
Продифференцировать результат по \(y\) и сравнить с заданным \(f_y\), чтобы найти \(C(y)\).
Проинтегрировать \(C(y)\) и записать ответ.

Или начать с интегрирования \(f_y\) по \(y\).

1.6 Метод градиентного спуска (gradient descent)

Один из главных прикладных смыслов градиента — метод градиентного спуска (gradient descent) — базовый итеративный метод в машинном обучении.

1.6.1 Задача оптимизации

Нужно решить \(\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x)\), где \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) дифференцируема.

Аналитически это часто невозможно (большая размерность, выпуклость (convexity) нарушена, много локальных минимумов). Нужны численные методы.

1.6.2 Алгоритм

Метод градиентного спуска (gradient descent, GD) строит последовательность точек \[x^{k+1} = x^k - \alpha \nabla f(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \dots\] из начального приближения \(x^0\).

Идея: \(\nabla f(x^k)\) указывает на направление наискорейшего роста, поэтому шаг против градиента (вычитание \(\alpha \nabla f\)) уменьшает значение функции.

Параметры:

\(\alpha > 0\) — скорость обучения (learning rate) или величина шага (step size): слишком большой \(\alpha\) может дать расходимость, слишком малый — очень медленную сходимость.
Критерии останова: \(\|\nabla f(x^k)\|_2 \le \varepsilon\), или \(\|x^{k+1} - x^k\|_2 \le \varepsilon\), или достигнуто максимальное число итераций.

Предостережение: для невыпуклых задач метод может сойтись к седлу, а не к локальному минимуму, в зависимости от \(x^0\).

Пример (квадратичная функция в \(\mathbb{R}^2\)): \(f(x, y) = x^2 + 4y^2\), \(\nabla f = (2x, 8y)\). При \(x^0 = (3, 2)\) и \(\alpha = 0{,}1\): \[x^1 = (3, 2) - 0.1(6, 16) = (2.4, 0.8), \quad x^2 = (2.4, 0.8) - 0.1(4.8, 6.4) = (1.92, 0.16), \quad \dots\] Последовательность сходится к минимуму \((0, 0)\).

Пример (квадратичная форма в \(\mathbb{R}^4\)): \(f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\mathbf{x}^T A \mathbf{x}\), \(A = \mathrm{diag}(1, 2, 3, 4)\). Тогда \(\nabla f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\), шаг \(x^{k+1} = x^k - \alpha A x^k = (I - \alpha A)x^k\) сходится при \(\alpha < 2/\lambda_{\max}(A) = 1/2\). При \(\alpha = 0{,}1\) и \(x^0 = (1,1,1,1)^T\) каждая координата геометрически затухает к \(0\).

Невыпуклый случай: алгоритм может «застрять» в локальном минимуме или седле; разные \(x^0\) дают разные результаты; глобальный минимум не гарантирован.

1.7 Условная оптимизация и множители Лагранжа

1.7.1 Задача на условный экстремум

Часто нужно экстремизировать функцию не на всём пространстве, а при ограничениях (constraints): например, максимизировать площадь при фиксированном периметре или найти ближайшую к началу координат точку на поверхности.

Метод подстановки: иногда из ограничения выражают переменную и сводят задачу к безусловной — удобно при простых связях.

1.7.2 Множители Лагранжа: одно равенство

Если подстановка неудобна, применяют метод множителей Лагранжа (method of Lagrange multipliers).

Теорема. Пусть \(f\) и \(g\) дифференцируемы и \(\nabla g(\mathbf{x}_0) \neq \mathbf{0}\). Если \(\mathbf{x}_0\) — точка условного экстремума \(f\) при ограничении \(g(\mathbf{x}) = 0\), то существует число \(\lambda_0\) (множитель Лагранжа, Lagrange multiplier) такое, что \[\nabla f(\mathbf{x}_0) = \lambda_0 \nabla g(\mathbf{x}_0).\]

Геометрическая картинка: в точке условного экстремума линии уровня \(f\) и кривая (поверхность) \(g = 0\) касаются: нормали (градиенты) коллинеарны, т.е. \(\nabla f = \lambda \nabla g\).

Функция Лагранжа (Lagrangian): \[\mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda) = f(\mathbf{x}) - \lambda g(\mathbf{x}).\]

Условие \(\nabla_{(\mathbf{x},\lambda)}\mathcal{L} = \mathbf{0}\) даёт систему \[\begin{cases} \nabla f(\mathbf{x}) = \lambda \nabla g(\mathbf{x}), \\ g(\mathbf{x}) = 0. \end{cases}\]

Практически для \(f(x,y,z)\) при \(g(x,y,z)=0\): четыре уравнения (\(f_x = \lambda g_x\), \(f_y = \lambda g_y\), \(f_z = \lambda g_z\), \(g=0\)) и четыре неизвестных (\(x,y,z,\lambda\)).

1.7.3 Несколько равенств-ограничений

При \(m\) связях \(g_1(\mathbf{x}) = 0, \dots, g_m(\mathbf{x}) = 0\), \(m < n\), вводят \(m\) множителей \(\lambda_1, \dots, \lambda_m\): \[\mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda_1, \dots, \lambda_m) = f(\mathbf{x}) - \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(\mathbf{x}).\]

Система: \[\begin{cases} \nabla f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(\mathbf{x}), \\ g_i(\mathbf{x}) = 0, \quad i = 1, \dots, m. \end{cases}\]

1.7.4 Задача линейного программирования (LP)

Задача линейного программирования (linear programming, LP) — частный случай, когда и целевая функция, и ограничения линейны: \[\min_{\mathbf{x}} \mathbf{c}^T \mathbf{x} \quad \text{при условии} \quad A\mathbf{x} \leq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq \mathbf{0}.\]

Здесь ограничения — неравенства. Множество допустимых точек — выпуклый многогранник (convex polytope): многоугольник на плоскости, многогранник в пространстве и т.д.

Факты:

оптимум линейной функции на выпуклом многограннике достигается в вершине (vertex);
симплекс-метод (simplex method) переходит по рёбрам от вершины к вершине, улучшая целевую функцию;
для неравенств естественны условия KKT (Karush–Kuhn–Tucker): в оптимальной точке \(\mathbf{x}^*\) существуют \(\mu_i \ge 0\) такие, что \[\nabla f(\mathbf{x}^*) = \sum_i \mu_i \nabla g_i(\mathbf{x}^*), \qquad \mu_i g_i(\mathbf{x}^*) = 0 \text{ (дополняющая нежёсткость, complementary slackness)}.\]
для LP условия KKT одновременно необходимы и достаточны для глобального оптимума.

Пример: максимизировать \(f(x,y) = 3x + 2y\) при \(x + y \leq 4\), \(x \leq 3\), \(y \leq 3\), \(x, y \geq 0\). Допустимая область — многоугольник; достаточно сравнить значения \(f\) в вершинах.

1.8 Формула Тейлора для функций нескольких переменных

1.8.1 Мотивация и вывод

Как и в одномерном случае, функцию нескольких переменных можно приближать многочленами Тейлора — это полезно для оценки погрешности, оптимизации и анализа около критических точек.

Для \(f(x, y)\) отрезок от \((x_0, y_0)\) до \((x, y)\) параметризуют: \(x = x_0 + th\), \(y = y_0 + tk\) (\(h = x - x_0\), \(k = y - y_0\), \(0 \le t \le 1\)). Положим \(F(t) = f(x_0 + th, y_0 + tk)\). По цепному правилу \[F'(t) = h f_x + k f_y, \qquad F''(t) = h^2 f_{xx} + 2hk f_{xy} + k^2 f_{yy}.\]

Вообще, \[F^{(n)}(t) = \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f.\]

Остаётся применить одномерную формулу Тейлора к \(F(t)\) при \(t = 1\).

1.8.2 Формула Тейлора

Формула Тейлора (Taylor’s Formula) для \(f(x, y)\) около \((x_0, y_0)\): \[f(x, y) = f(x_0, y_0) + (h f_x + k f_y) + \frac{1}{2!}(h^2 f_{xx} + 2hk f_{xy} + k^2 f_{yy})\] \[+ \frac{1}{3!}(h^3 f_{xxx} + 3h^2 k f_{xxy} + 3h k^2 f_{xyy} + k^3 f_{yyy}) + \cdots + R_n(x, y),\] где \(h = x - x_0\), \(k = y - y_0\), а все частные производные берутся в \((x_0, y_0)\).

Для остатка (remainder) \(R_n(x, y)\) справедлива оценка \[|R_n(x,y)| \le \frac{1}{(n+1)!}\left(\max |\text{производные порядка }(n+1)|\right) \cdot (|h| + |k|)^{n+1}.\]

Частный случай — квадратичное приближение в нуле (если первые производные в \((0,0)\) равны нулю или как главная часть): \[f(x, y) \approx f(0,0) + f_x(0,0)\,x + f_y(0,0)\,y + \frac{1}{2}\left(f_{xx}(0,0)\,x^2 + 2f_{xy}(0,0)\,xy + f_{yy}(0,0)\,y^2\right).\]

2. Определения

Функция нескольких переменных (function of several variables): правило, сопоставляющее каждой точке области \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) единственное число \(w = f(x_1, \dots, x_n)\).
Область определения (domain): наибольшее множество аргументов, на котором формула даёт вещественные значения.
Внутренняя точка (interior point): точка \(P_0 \in R\), для которой существует открытый шар с центром \(P_0\), целиком лежащий в \(R\).
Граничная точка (boundary point): точка \(P_0\), в любой окрестности которой есть как точки из \(R\), так и точки вне \(R\).
Открытая область (open region): область из одних внутренних точек.
Замкнутая область (closed region): область, содержащая все граничные точки.
Множество уровня (level set): \(\{(x_1,\dots,x_n) \mid f(x_1,\dots,x_n) = c\}\) при фиксированном \(c\).
Линия уровня (level curve): множество уровня при \(n = 2\).
Поверхность уровня (level surface): множество уровня при \(n = 3\).
Предел (limit): \(\lim_{x \to a} f(x) = L\), если \(f(x)\) стремится к \(L\) при \(x \to a\) по любому направлению.
Тест на двух путях (Two-Path Test): разные пределы вдоль двух путей к одной точке ⇒ предела нет.
Непрерывность (continuity): \(f\) непрерывна в \(a\), если \(f(a)\) определена и \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).
Частная производная (partial derivative): \(f_x = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}\); скорость изменения \(f\) по \(x\) при фиксированных остальных переменных.
Теорема Клеро (Clairaut’s Theorem): для гладких функций \(f_{xy} = f_{yx}\).
Гармоническая функция (harmonic function): \(\sum \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} = 0\) (уравнение Лапласа).
Дифференцируемая функция (differentiable function): в \((x_0, y_0)\) приращение \(\Delta z\) представимо главной линейной частью плюс остаток \(o(\rho)\) (условие с \(\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0\)).
Линеаризация (linearization): \(\mathcal{L}(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\).
Градиент (gradient): вектор \(\nabla f = (f_{x_1}, \dots, f_{x_n})^T\) из всех частных производных.
Производная по направлению (directional derivative): \(D_\mathbf{u} f(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \mathbf{u}\) при единичном \(\mathbf{u}\).
Критическая точка (critical point): внутренняя точка, где \(\nabla f = \mathbf{0}\) или не существует частная производная.
Седло (saddle point): критическая точка, не являющаяся ни локальным максимумом, ни минимумом.
Гессиан / дискриминант (Hessian / discriminant): \(D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\) в тесте вторых производных.
Множитель Лагранжа (Lagrange multiplier): число \(\lambda\) с условием \(\nabla f = \lambda \nabla g\) в точке условного экстремума.
Функция Лагранжа (Lagrangian): \(\mathcal{L}(\mathbf{x}, \lambda) = f(\mathbf{x}) - \lambda g(\mathbf{x})\).
Градиентный спуск (gradient descent): итерации \(x^{k+1} = x^k - \alpha \nabla f(x^k)\) для минимизации \(f\).
Скорость обучения (learning rate): шаг \(\alpha\) в градиентном спуске.
Формула Тейлора (многомерная): многочленное приближение \(f(x,y)\) около \((x_0,y_0)\) по производным до порядка \(n\) и остаток \(R_n\).

3. Формулы

Евклидова норма (Euclidean norm): \(\|x\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}\)
Частная производная (определение): \(f_x(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\)
Цепное правило (один параметр, chain rule): \(\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\)
Цепное правило (два параметра): \(\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\), \(\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\)
Неявное дифференцирование (\(F(x,y)=0\)): \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\)
Неявное дифференцирование (\(F(x,y,z)=0\)): \(\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}\), \(\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}\)
Линеаризация: \(\mathcal{L}(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)
Градиент: \(\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^T\)
Производная по направлению: \(D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\) (при \(\|\mathbf{u}\| = 1\))
Максимальная скорость роста: \(\|\nabla f\|\) в направлении \(\nabla f/\|\nabla f\|\)
Гессиан / дискриминант: \(D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\)
Тест вторых производных (Second Derivative Test): лок. макс. при \(D>0, f_{xx}<0\); лок. мин. при \(D>0, f_{xx}>0\); седло при \(D<0\)
Условие Лагранжа (одно ограничение): \(\nabla f = \lambda \nabla g\) и \(g(\mathbf{x}) = 0\)
Лагранжиан (одно ограничение): \(\mathcal{L}(\mathbf{x},\lambda) = f(\mathbf{x}) - \lambda g(\mathbf{x})\)
Лагранжиан (\(m\) ограничений): \(\mathcal{L}(\mathbf{x},\lambda_1,\dots,\lambda_m) = f(\mathbf{x}) - \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(\mathbf{x})\)
Градиентный спуск: \(x^{k+1} = x^k - \alpha \nabla f(x^k)\)
Квадратичное приближение Тейлора в \((x_0,y_0)\): \(f \approx f_0 + h f_x + k f_y + \frac{1}{2}(h^2 f_{xx} + 2hk f_{xy} + k^2 f_{yy})\), где \(h = x-x_0\), \(k = y-y_0\)

4. Задачи и примеры

4.1. Найдите и изобразите область определения (Лаба 6, Задание 1)

Найдите и схематично изобразите область определения для каждой функции:

(a) \(f(x,y) = \sqrt{y - x - 2}\)

(b) \(f(x,y) = \ln(x^2 + y^2 - 4)\)

(c) \(f(x,y,z) = \sqrt{4-x^2}+\sqrt{9-y^2}+\sqrt{1-z^2}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) Нужно \(y - x - 2 \ge 0\): замкнутая полуплоскость \(y \ge x + 2\) (над прямой \(y = x+2\) и на ней).

(b) Нужно \(x^2+y^2-4 > 0\): открытая область вне круга \(x^2+y^2 = 4\) (радиус \(2\)).

(c) Нужно \(|x| \le 2\), \(|y| \le 3\), \(|z| \le 1\): параллелепипед \([-2,2]\times[-3,3]\times[-1,1]\).

Ответ: (a) \(y \ge x+2\); (b) \(x^2+y^2 > 4\); (c) \([-2,2]\times[-3,3]\times[-1,1]\)

4.2. Область определения — домашнее задание (Лаба 6, Домашнее задание 1)

Найдите и схематично изобразите область определения для каждой функции:

(a) \(f(x,y) = \dfrac{\sin(xy)}{x^2+y^2-25}\)

(b) \(f(x,y,z) = \ln(16-4x^2-4y^2-z^2)\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) Нужно \(x^2+y^2 \neq 25\): вся плоскость \(\mathbb{R}^2\) без окружности радиуса \(5\).

(b) Нужно \(4x^2+4y^2+z^2 < 16\): внутренность эллипсоида \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{16} < 1\).

Ответ: (a) \(x^2+y^2 \neq 25\); (b) \(4x^2+4y^2+z^2 < 16\)

4.3. Постройте линии уровня (Лаба 6, Задание 2)

Постройте линии уровня \(z = k\) для:

(a) \(z = x + y - 1\), \(k = -2,-1,0,1,2\)

(b) \(z = y/x\), \(k = -2,-1,0,1,2\)

(c) \(z = x^2 - y^2\), \(k = -2,-1,0,1,2\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) \(x+y-1 = k \Rightarrow y = -x+(1+k)\): параллельные прямые с угловым коэффициентом \(-1\), пересечения с осью \(y\): \(-1,0,1,2,3\).

(b) \(y/x = k \Rightarrow y = kx\): прямые через начало координат с углами \(-2,-1,0,1,2\) (при \(x=0\) не определено).

(c) \(x^2-y^2 = k\): гиперболы; при \(k=0\) — пара прямых \(y = \pm x\).

Ответ: (a) параллельные прямые; (b) прямые через начало координат; (c) гиперболы

4.4. Линии уровня — домашнее задание (Лаба 6, Домашнее задание 2)

Постройте линии уровня \(z = k\):

(a) \(z = x^2+y^2\), \(k = 0,1,2,3,4\)

(b) \(z = x^2+9y^2\), \(k = 0,1,2,3,4\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) \(x^2+y^2 = k\): концентрические окружности радиуса \(\sqrt{k}\) с центром в начале координат (при \(k=0\) — точка).

(b) \(x^2+9y^2 = k\): концентрические эллипсы с полуосями \(\sqrt{k}\) и \(\sqrt{k}/3\) (при \(k=0\) — точка).

Ответ: (a) концентрические окружности; (b) концентрические эллипсы

4.5. Найдите пределы (Лаба 6, Задание 3)

(a) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(\infty,3)} \dfrac{2x-3}{x^3+4y^3}\)

(b) \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\x\neq y}} \dfrac{x-y+2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)

(c) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{1-\cos(xy)}{xy}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) При \(x\to\infty\) и \(y=3\): \(\dfrac{2x-3}{x^3+108} \to 0\) (знаменатель растёт быстрее). Ответ: \(0\)

(b) Разложим числитель: \((\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2)\). Сокращаем \((\sqrt{x}-\sqrt{y})\): \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2) = 2.\] Ответ: \(2\)

(c) Положим \(u = xy \to 0\): \(\dfrac{1-\cos u}{u} \to 0\) (так как \(1-\cos u \approx u^2/2\)). Ответ: \(0\)

4.6. Дополнительные пределы — домашнее задание (Лаба 6, Домашнее задание 3)

(a) \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\to(2,-4)\\y\neq-4}} \dfrac{y+4}{x^2y-xy+4x^2-4x}\)

(b) \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\to(2,0)\\2x-y\neq 4}} \dfrac{\sqrt{2x-y-2}}{2x-y-4}\)

(c) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\)

(d) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) Знаменатель: \(x(x-1)(y+4)\). Сокращаем \((y+4)\): \(\dfrac{1}{x(x-1)} \to \dfrac{1}{2}\) в точке \((2,-4)\). Ответ: \(\dfrac{1}{2}\)

(b) Пусть \(u = 2x-y-2 \to 2\). Выражение \(\dfrac{\sqrt{u}}{u-2} \to \pm\infty\). Предела нет.

(c) Пусть \(t = x^2+y^2 \to 0\): \(\dfrac{\sin t}{t} \to 1\). Ответ: \(1\)

(d) Вдоль \(y=x^2\): \(\frac{1}{2}\). Вдоль \(y=0\): \(0\). Предела нет. Ответ: предела нет

4.7. Докажите отсутствие предела (Лаба 6, Задание 4)

Докажите, что у следующих выражений нет предела при \((x,y)\to(0,0)\):

(a) \(f(x,y) = -\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

(b) \(f(x,y) = \dfrac{x^4-y^2}{x^4+y^2}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) Вдоль оси \(x\) (\(y=0\)): \(f \to -\text{sgn}(x)\), справа \(-1\), слева \(+1\). Предела нет.

(b) Вдоль оси \(x\) (\(y=0\)): \(f = 1\). Вдоль \(y=x^2\): \(f = 0\). Предела нет.

Ответ: в обоих случаях разные пути дают разные пределы.

4.8. Докажите отсутствие предела — домашнее задание (Лаба 6, Домашнее задание 4)

Докажите, что предела при \((x,y)\to(0,0)\) не существует:

(a) \(f(x,y) = \dfrac{xy}{|xy|}\)

(b) \(f(x,y) = \dfrac{x^2-y}{x-y}\) (при \(x \neq y\))

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) Вдоль \(y = x > 0\): \(f = 1\). Вдоль \(y = -x\), \(x > 0\): \(|xy| = x^2\), \(f = \frac{-x^2}{x^2} = -1\). Предела нет.

(b) Вдоль \(y = 0\): \(f = \frac{x^2}{x} = x \to 0\). Вдоль \(y = x^2\): \(f = 0\). Вдоль \(y = 2x\): \(f = 2-x \to 2\). Предела нет.

Ответ: у обеих функций на разных путях получаются разные пределы.

4.9. Задайте \(f(0,0)\) для непрерывности (Лаба 6, Задание 5)

Определите \(f(0,0)\) так, чтобы \(f(x,y) = xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) была непрерывна в начале координат.

Нажмите, чтобы развернуть решение

В полярных координатах: \(f = r^2\cos\theta\sin\theta\cos(2\theta) \to 0\) при \(r\to0\).

Ответ: \(f(0,0) = 0\)

4.10. Непрерывность — домашнее задание (Лаба 6, Домашнее задание 5)

Исследуйте непрерывность в точке \((0,0)\):

(a) \(f = \begin{cases} \dfrac{x^3-y^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}\)

(b) \(f = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}\)

(c) \(f = \begin{cases} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 2, & (x,y)=(0,0)\end{cases}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) Полярные координаты: \(\dfrac{r^3(\cos^3\theta-\sin^3\theta)}{r^2} = r(\cos^3\theta-\sin^3\theta) \to 0 = f(0,0)\). Непрерывна.

(b) Полярные: \(r^2\cos\theta\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \to 0 = f(0,0)\). Непрерывна.

(c) Вдоль \(y=0\): \(f \to \pm1 \neq 2\). Не непрерывна.

4.11. Найдите пределы (Лаба 7, Задание 1.1)

Найдите \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x^2+y^2}\ln(x^2+y^2)\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

В полярных: \(r \cdot 2\ln r = 2r\ln r\). По правилу Лопиталя: \(\lim_{r\to0^+} r\ln r = 0\).

Ответ: \(0\)

4.12. Предел с помощью оценки (squeeze) (Лаба 7, Задание 1.2)

Найдите \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим: \(x^2y^2 \le \dfrac{(x^2+y^2)^2}{4}\). Тогда \(\dfrac{x^2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \dfrac{(x^2+y^2)^{3/2}}{4} = \dfrac{r^3}{4} \to 0\).

Ответ: \(0\)

4.13. Существование предела — три переменные (Лаба 7, Задание 1.3)

Исследуйте существование предела в \((0,0,0)\) для \(f(x,y,z) = \dfrac{xyz}{x+y+z}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Плоскость \(x+y+z=0\) проходит через начало координат, поэтому \(f\) не определена на поверхности, пересекающей любую окрестность \((0,0,0)\). В обычном смысле предела нет: функция не определена на всей проколотой окрестности шара с центром в начале.

Ответ: предела нет (область определения исключает плоскость \(x+y+z=0\), проходящую через начало).

4.14. Предел функции трёх переменных в точке (Лаба 7, Задание 1.4)

Исследуйте существование предела в \((2,-2,0)\) для \(f(x,y,z) = \dfrac{x+y}{x^2-y^2+z^2}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

При \(z=0\): \(f = \dfrac{x+y}{(x+y)(x-y)} = \dfrac{1}{x-y} \to \dfrac{1}{4}\).

При \(x+y=0\) (стремление к \((2,-2,0)\) при \(z\to0\)): \(f = 0\).

Разные пределы \(\Rightarrow\) предела нет.

Ответ: предела нет.

4.15. Вычислите частные производные (Лаба 7, Задание 2.1)

Найдите \(f_x\), \(f_y\), \(f_{xx}\), \(f_{yy}\) для \(f(x,y) = \ln(x^2y + 2xy + 5)\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Положим \(u = x^2y+2xy+5\).

\[f_x = \frac{2xy+2y}{u} = \frac{2y(x+1)}{u}, \quad f_y = \frac{x^2+2x}{u} = \frac{x(x+2)}{u}.\]

\[f_{xx} = \frac{2y \cdot u - 2y(x+1)(2xy+2y)}{u^2} = \frac{2y(5-x^2y-2xy-2y)}{u^2}.\]

\[f_{yy} = \frac{-(x^2+2x)^2}{u^2} = \frac{-x^2(x+2)^2}{u^2}.\]

Ответ: \(f_x = \dfrac{2y(x+1)}{u}\); \(f_y = \dfrac{x(x+2)}{u}\); \(f_{xx} = \dfrac{2y(5-x^2y-2xy-2y)}{u^2}\); \(f_{yy} = \dfrac{-x^2(x+2)^2}{u^2}\), где \(u = x^2y+2xy+5\).

4.16. Частные производные с составными слагаемыми (Лаба 7, Задание 2.2)

Для \(f(x,y) = x^3e^{-y} + y^3\sec(\sqrt{x})\) (\(x > 0\)) найдите \(f_x\) и \(f_y\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\[f_x = 3x^2e^{-y} + y^3\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.\] \[f_y = -x^3e^{-y} + 3y^2\sec(\sqrt{x}).\]

Ответ: \(f_x = 3x^2e^{-y} + \dfrac{y^3\sec(\sqrt{x})\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\); \(f_y = -x^3e^{-y} + 3y^2\sec(\sqrt{x})\)

4.17. Частные производные степенной функции (Лаба 7, Задание 2.3)

Для \(f(x,y) = (y^2\tan x)^{-4/3}\) (\(\tan x \neq 0\), \(y \neq 0\)) найдите \(f_x\) и \(f_y\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Положим \(u = y^2\tan x\), тогда \(f = u^{-4/3}\).

\[f_x = -\frac{4}{3}u^{-7/3}\cdot y^2\sec^2 x = -\frac{4y^2\sec^2 x}{3(y^2\tan x)^{7/3}}.\]

\[f_y = -\frac{4}{3}u^{-7/3}\cdot 2y\tan x = -\frac{8y\tan x}{3(y^2\tan x)^{7/3}}.\]

Ответ: \(f_x = -\dfrac{4y^2\sec^2 x}{3(y^2\tan x)^{7/3}}\); \(f_y = -\dfrac{8y\tan x}{3(y^2\tan x)^{7/3}}\)

4.18. Проверка на гармоничность (Лаба 7, Задание 2.4)

Определите, какие из функций гармоничны:

(a) \(f = x^3+3xy^2\) \(\quad\) (b) \(f = \sin x\cosh y + \cos x\sinh y\) \(\quad\) (c) \(f = \ln\sqrt{x^2+y^2}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) \(f_{xx}+f_{yy} = 6x + 6x = 12x \neq 0\). Не гармонична.

(b) \(f_{xx} = -\sin x\cosh y - \cos x\sinh y\); \(f_{yy} = \sin x\cosh y + \cos x\sinh y\). Сумма \(= 0\). Гармонична.

(c) \(f_{xx} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\); \(f_{yy} = \dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\). Сумма \(= 0\). Гармонична (при \((x,y)\neq(0,0)\)).

4.19. Цепное правило: \(dz/dt\) (Лаба 7, Задание 2.5)

Если \(z = \sin x\sin y\), \(x = \sqrt{t}\), \(y = 1/t\), найдите \(\dfrac{dz}{dt}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\[\frac{dz}{dt} = \cos x\sin y\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}} - \sin x\cos y\cdot\frac{1}{t^2} = \frac{\cos\sqrt{t}\sin(1/t)}{2\sqrt{t}} - \frac{\sin\sqrt{t}\cos(1/t)}{t^2}.\]

Ответ: \(\dfrac{\cos\sqrt{t}\sin(1/t)}{2\sqrt{t}} - \dfrac{\sin\sqrt{t}\cos(1/t)}{t^2}\)

4.20. Цепное правило: композиция с тремя переменными (Лаба 7, Задание 2.6)

Если \(f(x,y,z) = xe^{2x-y}+yz+e^{xz}\) и \(x(t) = t^2\), \(y(t) = \sin t\), \(z(t) = e^{-t}\), найдите \(\dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t),z(t))\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\[f_x = e^{2x-y}+2xe^{2x-y}+ze^{xz} = (1+2x)e^{2x-y}+ze^{xz}.\] \[f_y = -xe^{2x-y}+z, \quad f_z = y+xe^{xz}.\] \[x'(t)=2t,\quad y'(t)=\cos t,\quad z'(t)=-e^{-t}.\]

\[\frac{df}{dt} = f_x\cdot 2t + f_y\cdot\cos t + f_z\cdot(-e^{-t}).\]

Подставляя \(x=t^2\), \(y=\sin t\), \(z=e^{-t}\):

\[\frac{df}{dt} = \left[(1+2t^2)e^{2t^2-\sin t}+e^{-t}e^{t^2e^{-t}}\right]\cdot 2t + \left[-t^2e^{2t^2-\sin t}+e^{-t}\right]\cos t + \left[\sin t + t^2e^{t^2e^{-t}}\right](-e^{-t}).\]

Ответ: \(\dfrac{df}{dt} = 2t\left[(1+2t^2)e^{2t^2-\sin t}+e^{t^2e^{-t}-t}\right] + \left(e^{-t}-t^2e^{2t^2-\sin t}\right)\cos t - e^{-t}\!\left(\sin t + t^2e^{t^2e^{-t}}\right)\)

4.21. Неявное дифференцирование: \(dy/dx\) (Лаба 7, Задание 2.7)

Из уравнения \(xe^y + \sin(xy) + y - \ln 2 = 0\) найдите \(\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(0,\ln 2)}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(F_x = e^y + y\cos(xy)\big|_{(0,\ln2)} = 2+\ln 2\); \(F_y = xe^y+x\cos(xy)+1\big|_{(0,\ln2)} = 1\).

\[\frac{dy}{dx}\bigg|_{(0,\ln2)} = -(2+\ln 2).\]

Ответ: \(-(2+\ln 2)\)

4.22. Неявное дифференцирование: \(z_x\), \(z_y\) (Лаба 7, Задание 2.8)

Если \(F(x,y,z) = xe^{yz}+y^2z-3 = 0\) задаёт \(z(x,y)\), найдите \(z_x\) и \(z_y\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(F_x = e^{yz}\), \(F_y = xze^{yz}+2yz\), \(F_z = xye^{yz}+y^2\).

\[z_x = -\frac{e^{yz}}{xye^{yz}+y^2}, \quad z_y = -\frac{xze^{yz}+2yz}{xye^{yz}+y^2}.\]

Ответ: \(z_x = -\dfrac{e^{yz}}{xye^{yz}+y^2}\); \(z_y = -\dfrac{xze^{yz}+2yz}{xye^{yz}+y^2}\)

4.23. Производная по направлению к точке (Лаба 7, Задание 2.9)

Для \(f(x,y) = \sqrt{x^2+4y^2}\) найдите производную по направлению из \((1,2)\) к \((2,1)\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Направление: \(\mathbf{v} = (1,-1)\), \(\mathbf{u} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\).

\(f_x\big|_{(1,2)} = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\), \(f_y\big|_{(1,2)} = \dfrac{8}{\sqrt{17}}\).

\(D_\mathbf{u}f = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{8}{\sqrt{17}}\cdot\dfrac{-1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{7}{\sqrt{34}}\).

Ответ: \(-\dfrac{7}{\sqrt{34}}\)

4.24. Производные по направлению — упражнения лабы 8 (Лаба 8, Задание 1)

Для \(f = x^2+y^2+z^2\) найдите производную по направлению в точке \((1,1,1)\) вдоль вектора \((1,2,2)\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(\mathbf{u} = \dfrac{1}{3}(1,2,2)\). \(\nabla f\big|_{(1,1,1)} = (2,2,2)\).

\(D_\mathbf{u}f = (2,2,2)\cdot\dfrac{1}{3}(1,2,2) = \dfrac{2+4+4}{3} = \dfrac{10}{3}\).

Ответ: \(\dfrac{10}{3}\)

4.25. Производная по направлению — домашнее задание лабы 8 (Лаба 8, Домашнее задание 1)

Найдите \(D_\mathbf{u}f(3,-1,0)\) для \(f(x,y,z) = 4x-y^2e^{3xz}\) в направлении \(\mathbf{v} = \langle-1,4,2\rangle\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(\mathbf{u} = \dfrac{1}{\sqrt{21}}(-1,4,2)\).

В точке \((3,-1,0)\): \(e^{3xz} = 1\). \(f_x = 4\), \(f_y = -2(-1)(1) = 2\), \(f_z = -3(3)(1)(1) = -9\).

\(D_\mathbf{u}f = \dfrac{-4+8-18}{\sqrt{21}} = -\dfrac{14}{\sqrt{21}} = -\dfrac{14\sqrt{21}}{21}\).

Ответ: \(-\dfrac{14\sqrt{21}}{21}\)

4.26. Производная по направлению для \(\cos(x/y)\) (Лаба 8, Задание 2)

Для \(f(x,y) = \cos(x/y)\) найдите \(D_\mathbf{u}f\) в направлении \(\mathbf{v} = \langle 3,-4\rangle\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(\mathbf{u} = \dfrac{1}{5}(3,-4)\).

\(f_x = -\dfrac{\sin(x/y)}{y}\); \(f_y = \dfrac{x\sin(x/y)}{y^2}\).

\(D_\mathbf{u}f = \dfrac{-3\sin(x/y)}{5y} + \dfrac{x\sin(x/y)}{y^2}\cdot\dfrac{-4}{5} = -\dfrac{\sin(x/y)}{5}\left(\dfrac{3}{y}+\dfrac{4x}{y^2}\right)\).

Ответ: \(D_\mathbf{u}f = -\dfrac{(3y+4x)\sin(x/y)}{5y^2}\)

4.27. Классификация критических точек — домашнее задание лабы 8 (Лаба 8, Домашнее задание 2)

Найдите и классифицируйте критические точки:

(a) \(f(x,y) = x^2-y^3-3xy+2x\)

(b) \(f(x,y) = x^4+y^4-4xy+1\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) \(f_x = 2x-3y+2 = 0\) и \(f_y = -3y^2-3x = 0 \Rightarrow x = -y^2\).

Подстановка: \(-2y^2-3y+2 = 0 \Rightarrow (2y-1)(y+2)=0\), откуда \(y=1/2, x=-1/4\) и \(y=-2, x=-4\).

\(f_{xx}=2\), \(f_{yy}=-6y\), \(f_{xy}=-3\), \(D = -12y-9\).

\((-1/4, 1/2)\): \(D=-15<0\) → седло.
\((-4,-2)\): \(D=15>0\), \(f_{xx}=2>0\) → локальный минимум.

(b) \(f_x = 4x^3-4y=0 \Rightarrow y=x^3\); \(f_y = 4y^3-4x = 0 \Rightarrow x=y^3\).

Подстановка: \(x = x^9 \Rightarrow x=0,\pm1\). Критические точки: \((0,0)\), \((1,1)\), \((-1,-1)\).

\(D = 144x^2y^2-16\).

\((0,0)\): \(D=-16<0\) → седло.
\((\pm1,\pm1)\): \(D=128>0\), \(f_{xx}=12>0\) → лок. минимумы.

Ответ:

Седло в \((-1/4,1/2)\); лок. мин. в \((-4,-2)\).
Седло в \((0,0)\); лок. минимумы в \((1,1)\) и \((-1,-1)\).

4.28. Производная по направлению под углом (Лаба 8, Задание 3)

Найдите производную по направлению функции \(f(x,y) = 4x^3-3xy^2\) под углом \(\theta = \pi/3\) в точке \((1,2)\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(\mathbf{u} = (\cos(\pi/3), \sin(\pi/3)) = (1/2, \sqrt{3}/2)\).

\(f_x = 12x^2-3y^2\); \(f_y = -6xy\). В \((1,2)\): \(f_x = 12-12 = 0\), \(f_y = -12\).

\(D_\mathbf{u}f = 0\cdot\dfrac{1}{2} + (-12)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}\).

Ответ: \(-6\sqrt{3}\)

4.29. Восстановление \(f(x,y)\) по частным производным (Лаба 8, Задание 4)

Найдите \(f(x,y)\), если:

(a) \(f_x = 2x+y\), \(f_y = x+4y\)

(b) \(f_x = 3x^2y^2-2x\), \(f_y = 2x^3y+6y\)

(c) \(f_x = xy\cos(xy)+\sin(xy)\), \(f_y = x^2\cos(xy)\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) Интегрируем \(f_x\) по \(x\): \(f = x^2+xy+C(y)\). Дифференцируем по \(y\): \(x+C'(y) = x+4y \Rightarrow C(y)=2y^2\). Итого \(f = x^2+xy+2y^2+C\).

(b) Интегрируем \(f_x\) по \(x\): \(f = x^3y^2-x^2+C(y)\). По \(y\): \(2x^3y+C'(y) = 2x^3y+6y \Rightarrow C(y)=3y^2\). Итого \(f = x^3y^2-x^2+3y^2+C\).

(c) Интегрируем \(f_y = x^2\cos(xy)\) по \(y\): \(f = x\sin(xy)+C(x)\). По \(x\): \(\sin(xy)+xy\cos(xy)+C'(x) = xy\cos(xy)+\sin(xy) \Rightarrow C'(x) = 0\). Итого \(f = x\sin(xy)+C\).

Ответ: (a) \(x^2+xy+2y^2+C\); (b) \(x^3y^2-x^2+3y^2+C\); (c) \(x\sin(xy)+C\)

4.30. Найти и классифицировать критические точки (Лаба 8, Задание 5)

Найдите и классифицируйте критические точки:

(a) \(f(x,y) = x^3-3x+y^3-3y\)

(b) \(f(x,y) = 2x^3+2y^3-9x^2+3y^2-12y\)

(c) \(f(x,y) = 10xye^{-(x^2+y^2)}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(a) \(f_x = 3(x^2-1)=0 \Rightarrow x=\pm1\); \(f_y = 3(y^2-1)=0 \Rightarrow y=\pm1\). \(D = 36xy\).

\((1,1)\): \(D=36>0\), \(f_{xx}=6>0\) → лок. мин. (\(f=-4\)).
\((-1,-1)\): \(D=36>0\), \(f_{xx}=-6<0\) → лок. макс. (\(f=4\)).
\((1,-1)\) и \((-1,1)\): \(D=-36<0\) → сёдла.

(b) \(f_x=6x(x-3)=0 \Rightarrow x=0,3\); \(f_y = 6(y+2)(y-1)=0 \Rightarrow y=-2,1\). \(D=(12x-18)(12y+6)\).

\((0,-2)\): \(D=324>0\), \(f_{xx}=-18<0\) → лок. макс..
\((3,1)\): \(D=324>0\), \(f_{xx}=18>0\) → лок. мин..
\((0,1)\) и \((3,-2)\): \(D=-324<0\) → сёдла.

(c) \(f_x = 10ye^{-r^2}(1-2x^2)=0\) и \(f_y = 10xe^{-r^2}(1-2y^2)=0\). Критические: \((0,0)\), \((\pm1/\sqrt{2}, \pm1/\sqrt{2})\).

\((0,0)\): седло (функция меняет знак в окрестности).
\((1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\) и \((-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})\): лок. макс. (\(f=5/e\)).
\((1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})\) и \((-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\): лок. мин. (\(f=-5/e\)).

4.31. Предел прямой подстановкой (Глава 2, Пример 1)

Найдите \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos\!\left(\frac{x^2 + y^3}{x + y + 1}\right)\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Идея: если знаменатель ненулев в предельной точке, а внешняя функция непрерывна, можно применить правило о пределе композиции непрерывных функций.

Подставим внутреннюю дробь в \((0,0)\): \[\frac{x^2 + y^3}{x + y + 1}\bigg|_{(0,0)} = \frac{0}{1} = 0.\]
Непрерывность косинуса: \(\cos(0) = 1\).

Ответ: \(1\)

4.32. Предел и правило произведения (Глава 2, Пример 2)

Найдите \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^y \sin x}{x}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Предел произведения равен произведению пределов: \[\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^y \cdot \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin x}{x} = 1 \cdot 1 = 1.\]

Ответ: \(1\)

4.33. Предел прямой подстановкой (три переменные) (Глава 2, Пример 3)

Найдите \(\displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(1,0,-1)} \frac{2e^{x+2y-3z}}{x^2 + 2\cos(\sqrt{xy})}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Подстановка \((x,y,z) = (1,0,-1)\) (выражение непрерывно в этой точке): \[\frac{2e^{1+0+3}}{1 + 2\cos(0)} = \frac{2e^4}{1 + 2} = \frac{2e^4}{3}.\]

Ответ: \(\dfrac{2e^4}{3}\)

4.34. Предел после разложения множителей (Глава 2, Пример 4)

Найдите \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\to(1,1)\\ x \neq 1}} \frac{xy - y - 2x + 2}{x - 1}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Идея: разложить числитель и сократить неопределённость \(x - 1\).

Группировка: \[xy - y - 2x + 2 = y(x-1) - 2(x-1) = (x-1)(y-2).\]
Сокращение и предел: \[\lim_{\substack{(x,y)\to(1,1)\\ x \neq 1}} (y-2) = 1 - 2 = -1.\]

Ответ: \(-1\)

4.35. Предел после умножения на сопряжённость (Глава 2, Пример 5)

Найдите \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\to(4,3)\\ x \neq y+1}} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y+1}}{x - y - 1}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Идея: умножить на сопряжённое выражение, чтобы убрать неопределённость \(0/0\).

Умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{x} + \sqrt{y+1})\): \[\frac{x-(y+1)}{(x-y-1)(\sqrt{x}+\sqrt{y+1})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}}.\]
Предел: \[\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{4}} = \frac{1}{4}.\]

Ответ: \(\dfrac{1}{4}\)

4.36. Предела нет (тест на двух путях) (Глава 2, Пример 6)

Существует ли \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y}{x}\)?

Нажмите, чтобы развернуть решение

Идея: два разных пути к \((0,0)\) с разными пределами ⇒ предела нет.

Ось \(x\) (\(y = 0\), \(x \neq 0\)): \(f(x, 0) = 0\).
Прямая \(y = x\): \(f(x,x) = \frac{x}{x} = 1\).

Разные значения (\(0 \neq 1\)) на разных путях.

Ответ: предела нет.

4.37. Предела нет (параболы \(y=kx^2\)) (Глава 2, Пример 7)

Докажите, что \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^2y}{x^4 + y^2}\) не существует.

Нажмите, чтобы развернуть решение

Вдоль \(y = kx^2\): \[\frac{2x^2(kx^2)}{x^4 + k^2x^4} = \frac{2k}{1+k^2}.\]
Предел зависит от \(k\): при \(k=1\) равен \(1\), при \(k=0\) — \(0\).

Ответ: предела нет.

4.38. Вычислите частные производные (Глава 2, Пример 8)

Для \(f(x, y) = 2x^2 - xy^2 + x^3y + y^2\) найдите \(f_x\) и \(f_y\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(f_x\) (\(y\) как константа): \[f_x = 4x - y^2 + 3x^2y.\]
\(f_y\) (\(x\) как константа): \[f_y = -2xy + x^3 + 2y.\]

Ответ: \(f_x = 4x - y^2 + 3x^2y\); \(\quad f_y = -2xy + x^3 + 2y\)

4.39. Частные производные составной функции (Глава 2, Пример 9)

Для \(f(x, y) = e^{-x^2}\sin(x + 5y)\) найдите \(f_x\) и \(f_y\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(f_x\) (произведение + цепное правило): \[f_x = -2x\,e^{-x^2}\sin(x+5y) + e^{-x^2}\cos(x+5y).\]
\(f_y\) (только цепное правило, \(x\) фиксирован): \[f_y = 5e^{-x^2}\cos(x+5y).\]

Ответ: \(f_x = e^{-x^2}(-2x\sin(x+5y)+\cos(x+5y))\); \(\quad f_y = 5e^{-x^2}\cos(x+5y)\)

4.40. Неявное дифференцирование: одно уравнение (Глава 2, Пример 10)

Пусть \(y\cos x = x^2 + y^2\) неявно задаёт дифференцируемую функцию \(y(x)\). Найдите \(\dfrac{dy}{dx}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(F(x,y) = x^2 + y^2 - y\cos x = 0\).
\(F_x = 2x + y\sin x\), \(F_y = 2y - \cos x\).
Формула: \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} = -\dfrac{2x + y\sin x}{2y - \cos x}\).

Ответ: \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y\sin x}{2y - \cos x}\)

4.41. Неявное дифференцирование: три переменные (Глава 2, Пример 11)

Пусть \(F(x, y, z) = e^z - xyz = 0\) задаёт дифференцируемую функцию \(z(x,y)\). Найдите \(z_x\) и \(z_y\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(F_x = -yz\), \(F_y = -xz\), \(F_z = e^z - xy\).
\(z_x = -\dfrac{F_x}{F_z} = \dfrac{yz}{e^z - xy}\); \(\quad z_y = \dfrac{xz}{e^z - xy}\).

Ответ: \(z_x = \dfrac{yz}{e^z-xy}\); \(\quad z_y = \dfrac{xz}{e^z-xy}\)

4.42. Цепное правило: один параметр (Глава 2, Пример 12)

Пусть \(z = xy^3 - x^2y\), \(x = t^2+1\), \(y = t^2-1\). Найдите \(\dfrac{dz}{dt}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(z_x = y^3 - 2xy\), \(z_y = 3xy^2 - x^2\); \(\dot{x} = 2t\), \(\dot{y} = 2t\).
Цепное правило: \(\dfrac{dz}{dt} = 2t[(y^3-2xy)+(3xy^2-x^2)]\).
Подстановка \(x=t^2+1\), \(y=t^2-1\) и упрощение: \[\frac{dz}{dt} = 8t^7 - 18t^5 - 4t^3 + 6t.\]

Ответ: \(8t^7 - 18t^5 - 4t^3 + 6t\)

4.43. Цепное правило: два параметра (Глава 2, Пример 13)

Пусть \(z = \arctan(x^2+y^2)\), \(x = s\ln t\), \(y = te^s\). Найдите \(\dfrac{\partial z}{\partial t}\) и \(\dfrac{\partial z}{\partial s}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Частные производные \(z\): \[z_x = \frac{2x}{1+(x^2+y^2)^2}, \quad z_y = \frac{2y}{1+(x^2+y^2)^2}.\]
Частные производные \(x\), \(y\): \[x_t = \frac{s}{t},\; x_s = \ln t,\; y_t = e^s,\; y_s = te^s.\]
Цепное правило: \[\frac{\partial z}{\partial t} = z_x\cdot\frac{s}{t} + z_y\cdot e^s = \frac{2(s^2\ln^2 t + t^2e^{2s})}{t + t(s^2\ln^2 t + t^2e^{2s})^2}.\] \[\frac{\partial z}{\partial s} = z_x\cdot\ln t + z_y\cdot te^s = \frac{2(s\ln^2 t + t^2e^{2s})}{1+(s^2\ln^2 t+t^2e^{2s})^2}.\]

Ответ: \(\dfrac{\partial z}{\partial t} = \dfrac{2(s^2\ln^2 t + t^2e^{2s})}{t\left[1 + (s^2\ln^2 t + t^2e^{2s})^2\right]}\); \(\quad \dfrac{\partial z}{\partial s} = \dfrac{2(s\ln^2 t + t^2e^{2s})}{1 + (s^2\ln^2 t + t^2e^{2s})^2}\)

4.44. Производная по направлению через градиент (Глава 2, Пример 14)

Найдите производную \(f(x, y) = \arctan(y/x) + \sqrt{3}\arcsin(xy/2)\) в точке \(P_0(1,1)\) в направлении \(\mathbf{v} = 3\hat{\mathbf{i}} - 2\hat{\mathbf{j}}\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

Нормировка: \(\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{13}}(3, -2)\).
Градиент в \(P_0(1,1)\): \(f_x = 1/2\), \(f_y = 3/2\).
Производная по направлению: \[D_\mathbf{u}f = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}} + \frac{3}{2}\cdot\frac{-2}{\sqrt{13}} = -\frac{3}{2\sqrt{13}}.\]

Ответ: \(-\dfrac{3}{2\sqrt{13}}\)

4.45. Классификация критических точек (Глава 2, Пример 15)

Найдите и классифицируйте критические точки \(f(x, y) = 2x^3 - 3x^2 - 2y^3 + 3y^2\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(f_x = 6x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0\) или \(1\); \(f_y = 6y(1-y) = 0 \Rightarrow y = 0\) или \(1\).
Критические точки: \((0,0)\), \((0,1)\), \((1,0)\), \((1,1)\).
\(D = (12x-6)(-12y+6)\), \(f_{xy}=0\):
- \((0,0)\): \(D = -36 < 0\) → седло.
- \((0,1)\): \(D = 36 > 0\), \(f_{xx} = -6 < 0\) → локальный максимум
- \((1,0)\): \(D = 36 > 0\), \(f_{xx} = 6 > 0\) → локальный минимум
- \((1,1)\): \(D = -36 < 0\) → седло.

Ответ: локальный максимум в \((0,1)\), локальный минимум в \((1,0)\), сёдла в \((0,0)\) и \((1,1)\).

4.46. Условная оптимизация подстановкой (Глава 2, Пример 16)

Найдите точку плоскости \(2x + y - z - 5 = 0\), ближайшую к началу координат.

Нажмите, чтобы развернуть решение

Минимизируем \(f = x^2+y^2+z^2\) при \(z = 2x+y-5\): \[h(x,y) = 5x^2 + 2y^2 + 4xy - 20x - 10y + 25.\]
\(\nabla h = 0\): \(x = 5/3\), \(y = 5/6\), тогда \(z = -5/6\).
Минимум: \(D = 24 > 0\), \(h_{xx} = 10 > 0\).

Ответ: \(P\!\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{6}, -\dfrac{5}{6}\right)\), расстояние \(= \dfrac{5}{\sqrt{6}}\)

4.47. Множители Лагранжа — одно ограничение (Глава 2, Пример 17)

Найдите наибольшее и наименьшее значения \(f(x, y) = xy\) на эллипсе \(\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} = 1\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(\nabla f = \lambda \nabla g\), \(g = \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1\): \[y = \frac{\lambda x}{4}, \quad x = \lambda y.\]
Решение: \(\lambda = \pm 2\), критические точки \((\pm2, \pm1)\).
Значения: \(f(\pm2, \pm1) = 2\) (макс.); \(f(\mp2, \pm1) = -2\) (мин.).

Ответ: максимум \(= 2\); минимум \(= -2\).

4.48. Множители Лагранжа — два ограничения (Глава 2, Пример 18)

Найдите экстремумы \(f(x,y,z) = 3x+3y+8z\) при \(x^2+z^2=1\) и \(y^2+z^2=1\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

С множителями \(\lambda_1\), \(\lambda_2\): \(3 = 2\lambda_1 x\), \(3 = 2\lambda_2 y\), \(8 = 2(\lambda_1+\lambda_2)z\).
Решение: \(\lambda_1 = \lambda_2 = \pm5/2\), точки \(P_1 = (3/5, 3/5, 4/5)\) и \(P_2 = (-3/5,-3/5,-4/5)\).
Значения: \(f(P_1) = 10\); \(f(P_2) = -10\).

Ответ: максимум \(= 10\); минимум \(= -10\).

4.49. Квадратичное приближение Тейлора (Глава 2, Пример 19)

Постройте квадратичное приближение к \(f(x, y) = \sin x \sin y\) около нуля. Насколько оно точно при \(|x|, |y| \le 0.1\)?

Нажмите, чтобы развернуть решение

Производные в \((0,0)\): \(f = f_x = f_y = f_{xx} = f_{yy} = 0\); \(f_{xy} = 1\).
Квадратичный член Тейлора: \(f(x,y) \approx xy\).
Оценка остатка: производные третьего порядка по модулю не превосходят \(1\), поэтому в оценке остатка можно взять \(C=1\): \[|R_2| \le \frac{1}{6}(|x|+|y|)^3 \cdot C \le \frac{8}{6}(0.1)^3 \approx 0.00134.\]

Ответ: \(\sin x \sin y \approx xy\); погрешность \(\le 0.00134\).

4.50. Упражнения лекции — цепное правило (Глава 2, Задание 1)

Найдите \(\dfrac{dz}{dt}\):

(1) \(z = \sin x \sin y\), \(x = \sqrt{t}\), \(y = 1/t\)

(2) \(z = \ln(x^2+y^2+w^2)\), при \(x = se^t\sin s\), \(y = \arctan t\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(1)

\[\frac{dz}{dt} = \cos x \sin y \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} + \sin x \cos y \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) = \frac{\cos\sqrt{t}\sin(1/t)}{2\sqrt{t}} - \frac{\sin\sqrt{t}\cos(1/t)}{t^2}.\]

(2) \(z = \ln(x^2+y^2+w^2)\). Замечание: \(w\) в условии не зависит от \(t\) (заданы только \(x\) и \(y\) от \(s,t\)); \(w\) считается отдельной переменной.

При \(x = se^t\sin s\) и \(y = \arctan t\): \[z_x = \frac{2x}{x^2+y^2+w^2},\quad z_y = \frac{2y}{x^2+y^2+w^2}.\] \[x_t = se^t\sin s,\quad y_t = \frac{1}{1+t^2}.\] \[\frac{dz}{dt} = \frac{2x \cdot se^t\sin s + 2y/(1+t^2)}{x^2+y^2+w^2}.\]

Ответ (1): \(\dfrac{\cos\sqrt{t}\,\sin(1/t)}{2\sqrt{t}} - \dfrac{\sin\sqrt{t}\,\cos(1/t)}{t^2}\)

4.51. Упражнения лекции — неявное дифференцирование (Глава 2, Задание 2)

Пусть \(xe^y + \sin(xy) + y - \ln 2 = 0\) задаёт дифференцируемую функцию \(y(x)\). Найдите \(\dfrac{dy}{dx}\) в точке \((0, \ln 2)\).

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(F = xe^y + \sin(xy) + y - \ln 2\).
\(F_x = e^y + y\cos(xy)\). В \((0,\ln 2)\): \(F_x = e^{\ln 2} + \ln 2 = 2 + \ln 2\).
\(F_y = xe^y + x\cos(xy) + 1\). В \((0,\ln 2)\): \(F_y = 1\).
\(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} = -(2+\ln 2)\).

Ответ: \(-(2+\ln 2)\)

4.52. Упражнения лекции — градиент (Глава 2, Задание 3)

Найдите градиент в указанной точке:

(1) \(f(x,y) = \arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{x}}{y}\right)\), \((4,-2)\)

(2) \(f(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2)^{-1/2} + \ln(xyz)\), \((-1,2,-2)\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(1) Пусть \(u = \sqrt{x}/y\).

\[f_x = \frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}\,y} = \frac{1}{1+x/y^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}\,y} = \frac{y}{2\sqrt{x}(y^2+x)}.\]

В \((4,-2)\): \(f_x = \frac{-2}{2\cdot2\cdot8} = -\frac{1}{16}\).

\[f_y = \frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{-\sqrt{x}}{y^2} = \frac{-\sqrt{x}}{y^2+x}.\]

В \((4,-2)\): \(f_y = -\frac{1}{4}\).

\(\nabla f(4,-2) = \left(-\dfrac{1}{16}, -\dfrac{1}{4}\right)\).

(2) В \((-1,2,-2)\): \(r = \sqrt{1+4+4} = 3\), \((x^2+y^2+z^2)^{-3/2} = 1/27\).

\[f_x = \frac{-x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + \frac{1}{x} = -\frac{26}{27}.\]

\[f_y = \frac{-y}{r^3} + \frac{1}{y} = \frac{23}{54}.\]

\[f_z = \frac{-z}{r^3} + \frac{1}{z} = -\frac{23}{54}.\]

Ответ (1): \(\nabla f = \left(-\dfrac{1}{16},\, -\dfrac{1}{4}\right)\)

Ответ (2): \(\nabla f = \left(-\dfrac{26}{27},\, \dfrac{23}{54},\, -\dfrac{23}{54}\right)\)

4.53. Упражнения лекции — производная по направлению (Глава 2, Задание 4)

Найдите производную в \(P_0\) в направлении \(\mathbf{u}\):

(1) \(f(x,y) = \dfrac{x-y}{xy+2}\), \(P_0(1,-1)\), \(\mathbf{u} = 12\hat{\mathbf{i}}+5\hat{\mathbf{j}}\)

(2) \(f(x,y,z) = x^2+2y^2-3z^2\), \(P_0(1,1,1)\), \(\mathbf{u} = 2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-2\hat{\mathbf{k}}\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(1) Нормировка: \(\|\mathbf{u}\| = 13\), \(\hat{\mathbf{u}} = (12/13, 5/13)\).

В \(P_0(1,-1)\): \(xy+2 = 1\), значение \(f = 2\).

\[f_x = \frac{1\cdot(xy+2)-(x-y)\cdot y}{(xy+2)^2}\bigg|_{(1,-1)} = 3.\]

\(f_y\) в \((1,-1)\): \(-3\).

\(D_\mathbf{u}f = \frac{21}{13}\).

(2) Нормировка: \(\|\mathbf{u}\| = 3\), \(\hat{\mathbf{u}} = (2/3, 1/3, -2/3)\).

\(\nabla f = (2x, 4y, -6z)\). В \((1,1,1)\): \((2,4,-6)\).

\(D_\mathbf{u}f = \frac{20}{3}\).

Ответ (1): \(\dfrac{21}{13}\)

Ответ (2): \(\dfrac{20}{3}\)

4.54. Упражнения лекции — направления наибольшего роста и спада (Глава 2, Задание 5)

Найдите направления наибольшего роста и наибольшего спада в \(P_0\) и соответствующие скорости:

(1) \(f(x,y) = x^2y + e^{xy}\sin y\), \(P_0(1,0)\)

(2) \(f(x,y,z) = xe^y + z^2\), \(P_0(1, \ln 2, 1/2)\)

Нажмите, чтобы развернуть решение

(1) В \(P_0(1,0)\): \(f_x\big|_{(1,0)} = 0\); \(f_y\big|_{(1,0)} = 2\).

\(\nabla f(1,0) = (0, 2)\), \(\|\nabla f\| = 2\).

Рост: направление \((0,1)\) (\(\hat{\mathbf{j}}\)), скорость \(2\).

Спад: \((0,-1)\) (\(-\hat{\mathbf{j}}\)), скорость \(-2\).

(2) \(f_x = e^y\), \(f_y = xe^y\), \(f_z = 2z\). В \(P_0\): \((2,2,1)\).

\(\|\nabla f\| = 3\).

Ответ (1): макс. рост: \(\hat{\mathbf{j}}\), скорость \(2\); макс. спад: \(-\hat{\mathbf{j}}\), скорость \(-2\).

Ответ (2): макс. рост: \((2/3, 2/3, 1/3)\), скорость \(3\); макс. спад: \((-2/3,-2/3,-1/3)\), скорость \(-3\).

4.55. Упражнения лекции — множители Лагранжа (Глава 2, Задание 6)

Найдите точки эллипса \(x^2 + 2y^2 = 1\), в которых \(f(x, y) = xy\) принимает экстремальные значения.

Нажмите, чтобы развернуть решение

\(g = x^2+2y^2-1 = 0\); условие Лагранжа: \(y = 2\lambda x\), \(x = 4\lambda y\).
Решение: \(\lambda = \pm\frac{1}{2\sqrt{2}}\), \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(y = \pm\frac{1}{2}\).
Значения: \(f = \pm\frac{1}{2\sqrt{2}}\).

Ответ: макс. \(= \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\); мин. \(= -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\).

4.56. Упражнения лекции — приближения Тейлора (Глава 2, Задание 7)

По формуле Тейлора найдите квадратичное и кубическое приближения к \(f(x,y) = xe^y\) около нуля.

Нажмите, чтобы развернуть решение

Производные в \((0,0)\):
- \(f(0,0) = 0\); \(f_x = e^y \Rightarrow f_x(0,0) = 1\); \(f_y = xe^y \Rightarrow f_y(0,0) = 0\).
- \(f_{xx} = 0\); \(f_{xy} = e^y \Rightarrow f_{xy}(0,0) = 1\); \(f_{yy} = xe^y \Rightarrow f_{yy}(0,0) = 0\).
- \(f_{xxx} = 0\); \(f_{xxy} = 0\); \(f_{xyy} = e^y \Rightarrow f_{xyy}(0,0) = 1\); \(f_{yyy} = xe^y \Rightarrow f_{yyy}(0,0) = 0\).
Квадратичное приближение (\(n=2\)): \[xe^y \approx x + xy.\]
Кубическое (\(n=3\)): \[xe^y \approx x + xy + \frac{1}{2}xy^2.\]

Ответ: квадратичное: \(x + xy\); кубическое: \(x + xy + \dfrac{xy^2}{2}\)